oltre le 4 dimensioni...
Oltre le 4 dimensioni
Ma come riusciamo a immaginare l’ipercubo o altri oggetti a 4 dimensioni, potremmo anche pensare a 5, o 6, o più dimensioni?
La risposta è senz’altro affermativa e non c’è nemmeno una particolare difficoltà concettuale in più da superare: semmai è solo la nostra immaginazione ad essere messa in difficoltà...
Ad esempio, possiamo pensare allo spazio a n dimensioni come all’insieme delle n-ple di numeri reali, esattamente come nel piano, inserendo un sistema di coordinate, possiamo identificare un punto a una coppia di numeri e nello spazio a una terna.
Vediamo così senza problema che uno spazio a n dimensioni ha diritto all’esistenza, qualunque sia n, ma questo non ci aiuta molto a immaginare degli oggetti in questo spazio.
Torniamo allora all’ipercubo e vediamo come la costruzione con cui abbiamo ottenuto l’ipercubo a partire da un cubo è concettualmente la stessa con cui si ottiene un cubo da un quadrato: potremmo chiamarla costruzione del prisma. E, con la stessa costruzione, partendo da un punto (dim 0) possiamo immaginare di ottenere prima un segmento (dim 1), poi un quadrato (dim 2), poi un cubo (dim 3), poi un ipercubo (dim 4).
Non c’è motivo per cui ci si debba fermare: il prisma su un ipercubo di dim 4 sarà un ipercubo di dim 5 e così via.
Anche usando le coordinate, possiamo p.es. centrare gli oggetti nell’origine e sistemarli in modo che gli spigoli siano paralleli agli assi coordinati. Allora il quadrato (di lato 2) ha vertici nei 4 punti (±1,±1); i vertici del cubo sono gli 8 punti di coordinate (±1,±1,±1); i vertici dell’ipercubo sono i 16 punti di coordinate (±1,±1,±1,±1). E andando avanti otterremo che i vertici del’ipercubo in dimensione n sono i 2n punti di coordinate (±1,±1,...,±1,±1).
Ci sono altre costruzioni che si possono iterare in questo modo all’infinito, ad esempio la costruzione della piramide, con cui da un triangolo si ottiene un tetraedro: basta prendere un punto al di fuori del piano che contiene il triangolo e congiungerlo con tutti i vertici; se poi si parte da un triangolo equilatero si può ottenere un tetraedro regolare se si ha l’accortezza di scegliere il punto al di fuori non a caso, ma in modo che stia sulla retta ortogonale al piano che contiene il triangolo e passante per il suo baricentro, e si cura poi di aggiustare l’altezza del tetraedro in modo che tutte le facce risultino triangoli equilateri.
A livello di coordinate il modo forse più semplice è quello di vedere il triangolo sul piano di equazione x+y+z =1 nello spazio. I vertici sono quindi i punti di coordinate (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
E, nello spazio di dimensione n+1, gli n+1 punti di coordinate (1,0,...,0),...,(0,...0,1) sono vertici di un ipertetraedro in dimensione n.
Un’altra costruzione, che possiamo chiamare bipiramide, è quella con cui da un quadrato si può ottenere un ottaedro regolare, e, andando avanti, da un ottaedro si ottiene l’iperottaedro in dimensione 4 e così via: Vedi foto genova che per ora non c’è
A livello di coordinate, i 4 punti di coordinate (±1,0) e (0,±1) sono vertici di un quadrato, i sei punti di coordinate (±1,0,0), (0,±1,0) (0,0,±1) sono vertici di un ottaedro regolare e in generale i 2n punti di coordinate (±1,0,...,0),..., (0,...,0,±1) sono vertici di un iperottaedro in dimensione n.
È interessante notare che, in dimensione maggiore o uguale a 5, si può dimostrare che questi sono gli unici tre politopi regolari; quindi il 120-celle, il 600-celle, il 24-celle sono degli “accidenti” specifici della dimensione 4 (e icosaedro e dodecaedro sono “accidenti” specifici della dimensione 3).