Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

“…le curve algebriche sono create da Dio, le superfici sono opera del Demonio”

Federigo Enriques usava questa frase paradossale per dare conto nel 1949 (nell’opera Le superfici algebriche) della difficoltà del problema che, con Guido Castelnuovo, aveva dal 1914 compiutamente risolto: la classificazione (rispetto alle trasformazioni birazionali) delle superfici algebriche, cioè delle superfici che possono essere descritte da un’equazione polinomiale. Le immagini contenute in questo poster e nel successivo sono le fotografie di alcuni modelli in gesso di superfici algebriche del Dipartimento di Matematica “F. Enriques” dell’Università degli Studi di Milano; ovviamente il modello in gesso è un oggetto tridimensionale ed è la sua “buccia” – che in alcuni casi si dovrà immaginare estesa illimitatamente – ciò che suggerisce l’idea di superficie.
Le tecniche e i concetti elaborati per le curve non sono generalizzabili tout court allo studio delle superfici e ciò da una parte spiega la frase di Enriques e dall’altra dice quanto l’analogia, strumento importante per il ricercatore, qui non sia sufficiente.

I modelli delle foto qui sopra rappresentano superfici individuate da un polinomio di grado 2 o, come si dice brevemente, sono superfici di grado 2 (superfici quadriche), quelli delle foto qui sotto sono superfici di grado 3 (superfici cubiche), mentre quelli della scheda Superfici algebriche II sono superfici di grado 4 (superfici quartiche).

Come si vede, già tra due superfici quadriche le differenze possono essere molte: alcune quadriche sono limitate (ovvero, come la 11269, detta ellissoide, sono tutte contenute in una porzione finita di spazio) altre, come la 11268 o la 11295, no; alcune sono "fatte di un solo pezzo", altre, come la 11265, no; alcune sono ricoperte da rette, come la 11273 e la 11276 (e i modelli come la 11349 e 11295 mettono maggiormente in evidenza questa proprietà), altre no; alcune sono “lisce”, altre possiedono punti singolari come il vertice del cono giallo che si vede nella 11349 insieme all’altra superficie liscia.

Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

Un problema classico, ma ancora attuale, nello studio delle superfici algebriche è quello relativo alla ricerca di superfici algebriche di grado assegnato che ammettono il massimo numero di punti singolari isolati di una determinata natura. Ad esempio, per le quadriche, il massimo numero di singolarità isolate è uno, per le cubiche il massimo è 4 (e il modello qui sotto a sinistra mostra una superficie cubica con 4 punti singolari, doppi), mentre per le quartiche tale massimo è 16. Una superficie quartica con 16 punti doppi viene detta superficie di Kummer e il modello qui sotto a destra ne illustra un esempio.

In realtà anche i modelli in figura qui sotto rappresentano superfici di Kummer, nonostante vi si vedano solo 8 o 4 punti doppi. Il motivo è che quelle superfici hanno altri punti doppi che nello spazio reale non si possono vedere: sono punti doppi che si vedono solo in uno spazio "più ampio" in cui le coordinate dei punti sono numeri complessi.

La storia della sfida per “mettere in ordine” queste superfici è la storia affascinante di una vittoria, ma soprattutto è un esempio forte di che cosa vuol dire “fare matematica”.
Guido Castelnuovo l’ha descritto così:
“Avevamo costruito, in senso astratto si intende, un gran numero di modelli di superficie del nostro spazio, o di spazi superiori; e questi modelli avevamo distribuito, per così dire, in due vetrine. Una conteneva le superficie regolari per le quali tutto procedeva come nel migliore dei mondi possibili; l’analogia permetteva di trasportare ad esse le proprietà più salienti delle curve piane. Ma quando cercavamo di verificare queste proprietà sulle superfici dell’altra vetrina, cominciavano i guai, e si presentavano eccezioni d’ogni specie. Alla fine lo studio assiduo dei nostri modelli ci aveva condotto a divinare alcune proprietà che dovevano sussistere, con modificazioni opportune, per le superficie di ambedue le vetrine; mettevamo poi a cimento queste proprietà con la costruzione di nuovi modelli. Se resistevano alla prova ne cercavamo, ultima fase, la giustificazione logica.”