Gli anelli borromei sono il simbolo della celebre famiglia lombarda (e di diverse altre) e si trovano raffigurati il giro per Milano e il Lombardia in vari luoghi, negli stemmi o su statue, portali, fontane… Che cosa c’entrano con i nodi questi anelli?

Prendete tre corde e cominciate ad intrecciarle fino a realizzare la porzione di treccia in figura; se, a questo punto, unite fra loro i due capi di ciascuna corda, ottenete proprio gli anelli borromei, cioè un bell’esempio di nodo a tre componenti.

Questi anelli hanno una proprietà molto particolare, alla quale è stato attribuito un significato simbolico: tolto uno qualsiasi di questi tre anelli, gli altri due si separano, mentre tutti e tre insieme non si separano.
Ciò non accade per nessuno degli “imitatori” dei borromei, cioè per nessuno dei nodi a tre componenti che hanno la stessa “ombra” degli anelli borromei, ma si differenziano da essi per le scelte sopra/sotto che si fanno ad ogni incrocio. In effetti, in giro per Milano si ritrovano raffigurati a volte i borromei “legittimi”, a volte nodi diversi, che apparentemente hanno lo stesso aspetto, ma in cui qualche incrocio è stato invertito. In questo poster della mostra matemilano sono raffigurati tutti i cinque tipi che si possono ottenere, borromei compresi.
Uno di questi è tale che, se si toglie uno qualsiasi dei tre anelli, gli altri due restano comunque legati fra loro (formano una catena a due anelli).
Questo nodo a tre componenti ha una peculiarità interessante: appartiene ad una famiglia di nodi che possono essere disegnati sulla superficie di un toro (e precisamente è un nodo taurino di tipo (3,3): vedi anche l'approfondimento Due numeri per un nodo).

Un altro "imitatore" può essere manipolato fino a ridurlo a una catena a tre anelli: se si toglie l’anello rosso gli altri due si liberano, ma se si toglie il verde o il giallo, gli altri due rimangono allacciati (in una catena a due anelli).
Un altro ancora può essere manipolato fino a sciogliere uno dei tre anelli, mentre gli altri due rimangono legati.
E infine questo è addirittura un finto nodo a tre componenti, in cui ciascuna delle tre componenti è in realtà slacciata dalle altre due.

Non ci sono altri “imitatori” degli anelli dei borromei: se provate a partire dal diagramma che rappresenta la loro “ombra”, con le tre circonferenze che si intersecano, e decidete a vostro piacimento quale ramo passa sopra e quale sotto in ciascuno dei sei incroci, trovate sempre uno di questi cinque nodi. Questo non vuol dire che non ci siano altri diagrammi, oltre ai cinque raffigurati in questa scheda: gli incroci sono sei, e ad ogni incrocio potete scegliere quale dei due rami passa sotto e quale passa sopra, quindi a priori avete 2⁶=64 possibilità. E’ facile però vedere, usando qualche considerazione di simmetria, che i diagrammi diversi tra loro si riducono a 10, e che, fra questi, alcuni producono lo stesso nodo a tra componenti: così i cinque casi che abbiamo descritto rappresentano tutte le possibilità.

Gli anelli borromei autentici hanno un’altra caratteristica che li differenzia dai loro imitatori, che sono tutti molto “flessibili” (uno addirittura, il finto nodo a tre componenti, è così “flessibile” che ognuno dei tre anelli può andarsene per i fatti propri): gli anelli borromei invece sono molto “rigidi” e in particolare, come già si erano accorti gli artigiani che li riproducevano in bassorilievi o in ferro battuto, non possono essere realizzati con anelli piani circolari. Ad esempio, potete costruirne un modello rigido, realizzato con tre curve piane, ma queste curve dovranno essere ellissi e non cerchi. Se ne realizzate invece un modello con delle corde (flessibili), potrete disporre ciascuna di esse (una per volta!) in forma circolare, ma se cercate di farlo per tutte e tre insieme, ad esempio cercando di “appiattirle” in modo da vederle come nel diagramma sul poster, vi accorgerete che non è possibile: i tre anelli non possono restare proprio piatti (e non sono cerchi). E’ anche interessante osservare che gli anelli borromei possono essere disposti in maniere molto "simmetriche": ad esempio, possono essere realizzati con tre curve piane disposte su tre piani a due a due ortogonali fra loro.