Prendete una corda con i capi liberi, e provate ad annodarla come preferite. Potete fare un nodo semplice, oppure un nodo come quelli raffigurati a Milano, nel mosaico centrale della Galleria, oppure un nodo scorsoio o qualunque altro nodo vi suggerisca la vostra fantasia o la vostra esperienza di marinai, alpinisti, sarti, ecc.

Finchè lasciate liberi i capi della corda, per quanto abbiate stretto il vostro nodo (il che in questo caso è poco opportuno), potrete sempre scioglierlo, pur di avere un po’ di pazienza, semplicemente facendo scorrere uno dei capi liberi a ritroso lungo il nodo stesso. Provate però, dopo aver fatto un nodo a piacere (o anche senza aver annodato nulla!), ad unire in qualche maniera i capi della corda incollandoli, oppure attaccando una calamita a ciascuna di essi e accostando le calamite (sarebbe meglio comunque evitare di fare un nuovo nodo per unire i due capi, per non confondere il nodo che volete studiare con il nodo “tecnico” che servirebbe solo per unire i due capi). In questo modo avrete in un certo senso “fissato” il nodo indissolubilmente: ad esempio, se avete annodato la corda con un nodo semplice, unendo i capi trovate un nodo che in matematica viene chiamato nodo trifoglio. Potrete anche ridisporlo sul tavolo in molti modi diversi da quello rappresentato nella fotografia, ma, se non tagliate la corda, si tratterà sempre di questo nodo.
Se invece avete annodato la corda con un nodo come quelli nell’ottagono centrale della Galleria, a Milano, quando unite i capi troverete che la corda, una volta adagiata sul tavolo, potrà assumere l’aspetto del nodo che in matematica si chiama “nodo a otto” e che forse conoscete già come “nodo Savoia”.
Se poi non annodate per nulla la corda, dopo averne unito i capi potrete disporla sul tavolo in una forma più o meno circolare: si tratta di un “finto nodo” che in matematica si chiama nodo banale.

Ora provate a manipolare questi nodi, senza mai staccare i capi che avete unito. Qualunque cosa ne facciate, rigirandoli, “annodandoli” ulteriormente etc.:

• non potrete mai ottenere dal nodo trifoglio il finto nodo, né dal finto nodo il nodo trifoglio
• non potrete mai ottenere dal nodo trifoglio il nodo a otto, né viceversa;
• qualunque “groviglio” facciate al finto nodo, potrete poi riportarlo nella forma della circonferenza, sempre SENZA tagliare la corda, cosa che per i nodi “veri” non è possibile;
• se invece avete annodato la corda con un nodo scorsoio, e poi ne avete unito i capi, potrete scioglierlo e disporlo come il finto nodo; potrete anche partire dal finto nodo per ottenere lo stesso nodo scorsoio. Quindi il nodo scorsoio è in realtà un finto nodo.

E l’elenco potrebbe continuare…

Unire i capi della corda dopo averla annodata significa in qualche modo “catturare” l’essenza del nodo: una volta uniti i capi, non importa più quali altre manipolazioni vengano fatte, a patto di non tagliare la corda: il nodo in realtà sarà sempre quello iniziale.

Potete ora provare a riprodurre i vari nodi del poster Una questione nodale della mostra matemilano; prestate solo attenzione a non confondere, nei vari incroci, i due rami della corda che passano rispettivamente sotto oppure sopra: basta invertirne uno perché il tipo di nodo possa diventare completamente diverso! Potrete così accorgervi che ci sono alcuni diagrammi che a prima vista sembrano di nodi diversi, mentre in realtà rappresentano lo stesso nodo: ad esempio, fra i diagrammi sul poster, ce ne sono tre che rappresentano il nodo trifoglio (questo è il primo, questo è il secondo e quest'altro il terzo)altri tre che rappresentano il nodo a otto (questo è il primo, questo è il secondo e quest'altro il terzo), e infine altri tre, oltre alla circonferenza, che rappresentano un finto nodo (questo è il primo, questo è il secondo e quest'altro il terzo).
E, viceversa, alcuni diagrammi che a prima vista possono sembrare uguali rappresentano invece nodi diversi; ad esempio, tre fra queste figure hanno la stessa “ombra”: eppure una volta si tratta di un nodo a otto, una volta di un trifoglio e un’altra di un finto nodo.

Appena il nodo diventa un po’ più complicato, non è per nulla facile accorgersi “a occhio” se due nodi sono o non sono la stessa cosa, e nemmeno se un nodo è un nodo vero o è in realtà un finto nodo. A molti sarà successo di perdere la pazienza nel districare un gomitolo di lana caduto a terra e con cui magari ha giocato un gatto: se immaginate, in un caso di quel genere, che per qualche motivo i due capi del gomitolo siano stati uniti uno con l’altro, potete avere un’idea delle difficoltà che si possono incontrare nel distinguere un nodo effettivo da un finto nodo.
In realtà la questione è assai più complicata di così: non solo non è facile accorgersi “a occhio” se due nodi sono o non sono la stessa cosa, ma finora nessuno ha trovato un algoritmo che permetta di risolvere il problema in generale! Ovvero: la classificazione dei nodi è tuttora un problema aperto in matematica.