Ottenere un nastro di Moebius è molto semplice: basta prendere un rettangolo di carta, che sia abbastanza lungo e stretto (un rapporto conveniente fra i due lati può essere di 1:5), e incollarne insieme i lati corti dopo aver dato al rettangolo una mezza torsione. Il risultato è un oggetto molto semplice, che per molti versi assomiglia a un cilindro, e però è molto diverso da un cilindro.

Per cominciare, si può osservare che il bordo del cilindro è costituito da due circonferenze, mentre è facile rendersi conto (seguendolo con un dito, o meglio con una matita colorata) che il bordo del nastro di Moebius è costituito da una sola circonferenza.

Un’altra caratteristica del nastro di Moebius è quella di essere una superficie “non orientabile”; se si immagina, come in questa animazione, di viaggiare sopra un nastro di Moebius, dopo aver fatto un giro completo ... ci si ritrova dall’altra parte. Questa può sembrare una proprietà che non è tanto caratteristica del nastro di Moebius in quanto tale, ma di come il nastro di Moebius “abita” nello spazio in cui viviamo. E in effetti è così: potremmo immaginare degli ambienti tridimensionali, diversi dallo spazio in cui viviamo, in cui il nastro di Moebius ha due facce e le rotelline che viaggiano sul nastro di Moebius starebbero sempre da un solo lato.
Il fatto però che questo non accade e non può accadere nell’usuale spazio tridimensionale è legato a una proprietà intrinseca del nastro di Moebius (la non-orientabilità, per l’appunto), che quindi dipende solo dalla superficie e non dall’ambiente in cui questa è immersa: immaginiamo, come in quest’altra animazione di far fare un giro lungo il nastro di Moebius a qualcosa di piatto, contenuto
nella superficie (non che “sporga”, come la rotellina, nell’ambiente circostante), ad esempio, come nell’animazione, il disegno di un guanto: dopo aver fatto un giro completo lungo la superficie il guanto sinistro è diventato un guanto destro e la rotazione in verso antiorario che porta l'indice sul pollice è diventata una rotazione in verso orario. Cosa che non accade, naturalmente, se compiamo la stessa operazione su un cilindro.

Ma ci sono anche altre differenze tra un cilindro e un nastro di Moebius: se si taglia un cilindro lungo una circonferenza “centrale”, che giri intorno al cilindro stesso, si ottengono naturalmente due cilindri; invece, se si taglia un nastro di Moebius lungo la circonferenza centrale, questo non si separa, ma otteniamo un unico oggetto (che è in realtà, dal punto di vista della topologia, uguale a un cilindro). Ci si può domandare anche che cosa succede tagliando in tre un nastro di Moebius; oppure si possono prendere in considerazione gli oggetti che si possono ottenere sempre da un rettangolo identificandone due lati opposti, ma dopo aver dato non più una sola mezza torsione, ma due, oppure tre, o anche di più: che cosa accade? Otteniamo oggetti sempre diversi oppure no? La risposta non è ovvia: dal punto di vista della topologia intrinseca tutti questi oggetti sono uguali o a dei cilindri (se il numero di mezze torsioni è pari) oppure a dei nastri di Moebius (se questo numero è dispari): ad esempio tutti quelli con un numero pari di mezze torsioni sono orientabili (mentre gli altri non lo sono), hanno due circonferenze di bordo (mentre gli altri ne hanno una sola) e vengono divisi in due se li si taglia lungo la circonferenza centrale (cosa che non accade per gli altri). Varia però la maniera in cui
questi oggetti sono disposti nell’ambiente, tant’è vero che non si può ad esempio prendere in mano un cilindro e manipolarlo fino a disporlo in questa posizione; e una maniera per rendersi conto che una tale operazione è impossibile è proprio quella di osservare le due circonferenze che costituiscono il bordo dell’oggetto e che sono slacciate nel primo caso e allacciate nel secondo.