Se vogliamo costruire un poliedro regolare, partiamo con l’utilizzare come facce dei poligoni regolari, tutti uguali fra loro, e li assembliamo intorno a un vertice in modo che (nel piano) resti una fessura, ovvero in modo che la somma degli angoli che arrivano in quel vertice sia strettamente minore di 360°.

È proprio questa fessura che permette di richiuderli poi nello spazio tridimensionale e di ottenere un poliedro convesso (se la somma degli angoli fosse uguale a 360° si otterrebbe una tassellazione piana).

È così che possiamo convincerci che i poliedri regolari non sono più di 5, perché le combinazioni possibili sono solo 5: pentagoni a 3 a 3, quadrati a 3 a 3, triangoli a 3 a 3, oppure a 4 a 4, oppure a 5 a 5.

Naturalmente per essere sicuri che i poliedri regolari sono esattamente 5 dovremmo poi far vedere che ognuna di queste combinazioni intorno a un vertice si può portare avanti, sempre nella stessa maniera, fino a ottenere un poliedro.

Proviamo a mimare per analogia questo ragionamento in dimensione superiore, ovvero cerchiamo di costruire un politopo regolare nello spazio a 4 dimensioni; possiamo cominciare a scegliere un poliedro regolare e poi provare ad assemblare varie copie di questo poliedro regolare, tutte uguali fra loro, intorno a uno spigolo. Abbiamo bisogno però che resti una fessura (nello spazio 3d), ovvero che la somma degli angoli diedri che arrivano in quello spigolo sia minore di 360°; come per i poligoni che si assemblano in poliedri, sarà proprio questa fessura che garantisce che si possa poi richiuderli nello spazio 4d e ottenere un politopo convesso (se la somma degli angoli diedri fosse uguale a 360° si otterrebbe una tassellazione dello spazio: si pensi ad esempio a 4 cubi intorno a uno spigolo).

Anche in questo caso le possibilità non sono molte.
Se partiamo da tetraedri regolari, possiamo metterli insieme a 3 a 3 oppure a 4 a 4, oppure a 5 a 5, non di più perché l’angolo diedro di un tetraedro regolare è maggiore di 60°.

Se partiamo da cubi, possiamo metterli insieme a 3 a 3 e non di più perché l’angolo diedro di un cubo è 90°, sicché mettendoli insieme a 4 a 4 otterremmo una tassellazione dello spazio.
Se partiamo da ottaedri regolari, possiamo metterli insieme a 3 a 3 e non di più perché l’angolo diedro di un ottaedro regolare è maggiore di 90°.
Se partiamo da dodecaedri regolari, possiamo metterli insieme a 3 a 3 e non di più perché l’angolo diedro di un dodecaedro regolare è maggiore di 90°.

Se partiamo da icosaedri regolari, non possiamo metterli insieme nemmeno a 3 a 3 perché l’angolo diedro di un icosaedro regolare è maggiore di 120°.
Ci sono quindi al massimo sei possibilità, e si può in effetti dimostrare che in ciascuno di questi sei casi si può continuare questo assemblaggio finché si richiude (nello spazio quadridimensionale) in un politopo convesso:

• l’ipertetraedro, composto da 5 tetraedri (3 intorno a ogni spigolo);
• l’iperottaedro, composto da 16 tetraedri (4 intorno a ogni spigolo);
• il 600-celle, composto da 600 tetraedri (5 intorno a ogni spigolo);
• l’ipercubo, composto da 8 cubi (3 intorno a ogni spigolo);
• il 24-celle, composto da 24 ottaedri (3 intorno a ogni spigolo);
• il 120-celle, composto da 120 dodecaedri (3 intorno a ogni spigolo).