I 17 gruppi dei mosaici sono un esempio di una situazione (matematica) in cui è presente una ridda di notazioni diverse (si arriva addirittura a 6 o 7 diversi tipi di notazione!).

Anche noi in questo sito ne abbiamo usato due: inizialmente abbiamo usato quella cristallografica (p6, p6m, p4, p4m, p4g, …) e successivamente, pur mantenendo l’altra per chi ci avesse “preso la mano”, abbiamo cominciato a utilizzare la notazione di Conway (632, *632, 442, *442, 4*2;…), che è per l’appunto quella che vogliamo qui illustrare.

Sarebbe una bella cosa se questa notazione (introdotta da Thurston e Conway in anni abbastanza recenti) riuscisse in un prossimo futuro a soppiantare tutte le altre!
Ci sono gli elementi perché ciò possa accadere, dal momento che in effetti non si tratta soltanto di nomi diversi, ma soprattutto del fatto che “c’è sotto” un punto di vista differente, che presenta grossi vantaggi, visto che riesce a unificare situazioni apparentemente assai diverse e dunque consente che uno stesso tipo di notazione “funzioni” per i mosaici, ma anche per i fregi e per i gruppi finiti di isometrie dello spazio (cioè ad
esempio i gruppi di simmetria dei poliedri).

Il punto di vista a cui ci stiamo riferendo si può enunciare con il “comandamento di Thurston” ovvero: “thou shalt know no geometrical group save by understanding its orbifold”, cioè: tu non conoscerai mai un gruppo di trasformazioni se non arrivi a capire come è fatto il suo quoziente (che in inglese viene detto orbifold). Questo comandamento si può trovare nel bellissimo libro di Conway The symmetries of things, nell’introduzione alla seconda parte; il libro stesso è stato definito come “un monumento di testimonianza alla potenza di una buona notazione”.