Perché servono otto cubi nello sviluppo dell'ipercubo?
Per comprenderlo, esaminiamo i casi del quadrato e del cubo:

• nel caso del quadrato ogni lato è adiacente ad altri due. I due vertici di questi due lati che non sono in comune con il lato di partenza sono i vertici del lato opposto a quello di partenza.
  Il numero dei lati è quindi 1+2+1=4 (un lato, i due adiacenti, quello opposto)
• nel caso del cubo ogni quadrato è adiacente ad altri quattro (ha quattro lati); i lati “liberi” di tali quadrati sono i lati del quadrato opposto a quello di partenza.
  Il numero delle facce in un cubo è quindi 1+4+1=6 (una faccia, le quattro adiacenti, quella opposta).

Sia nel caso del quadrato, sia in quello del cubo, abbiamo quindi la situazione seguente: ogni “faccia” (rispettivamente un lato o un quadrato) è adiacente a “quasi tutte” le altre, precisamente a tutte salvo una.

Proviamo ora a ragionare per analogia in un ipercubo: visto che ogni “faccia” di un ipercubo è un cubo, che ha sei facce, è ragionevole pensare che il totale delle facce cubiche dell'ipercubo sia 1+6+1=8 (un cubo, i sei adiacenti, il cubo opposto).Siamo quindi arrivati a supporre che le facce cubiche dell'ipercubo possano essere otto.

Ma in realtà quanti cubi ci sono in un ipercubo? Un'infinità! Per comprendere questo fatto torniamo ancora una volta al caso del cubo e ragioniamo per analogia.

Il cubo ha sei facce esterne, che sono dei quadrati identici, ma in realtà esistono un'infinità di quadrati nel cubo. Per esempio, consideriamo un cubo e un piano parallelo ad una faccia e immaginiamo di far passare il cubo attraverso il piano: ad ogni istante l'intersezione del piano e del cubo è un quadrato.

Allo stesso modo immaginate un ipercubo che attraversi un universo tridimensionale come il nostro, che sia parallelo a una delle sue otto facce cubiche: l’intersezione dell’universo 3d e dell’ipercubo è un cubo e quindi ad ogni istante apparirebbe come un cubo.
Naturalmente però, fra tutti questi infiniticubi che abbiamo trovato come intersezione dell'ipercubo con il fissato universo 3d, ce ne sono soltanto due che hanno facce (ripettivamente spigoli e vertici) nelle facce (rispettivamente spigoli e vertici) dell'ipercubo

A cura di Paolo Bellingeri per la mostra Un tuffo nella quarta dimensione.