Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

Il ritmo dei mosaici

Se chiedete a un gruppo di persone (di cultura occidentale) di riempire alcune celle di una griglia che sia già parzialmente colorata, almeno l’80% di loro formerà un disegno “simmetrico”, cioè un disegno con una forte regolarità, che accontenti il loro senso estetico. La simmetria è un filo che attraversa molte espressioni del sapere e del sentire umano e un nodo concettuale “forte” del pensiero scientifico: la matematica ne è la radice.

Da sempre i cristalli, con le loro forme fortemente regolari, affascinano gli uomini. L’analisi di questa regolarità ha rappresentato nei secoli scorsi un bell’esempio di sinergia fra scienza tout court e matematica. Così come una bella sinergia tra Algebra e Geometria ha portato alla classificazione della simmetria delle figure piane e, in particolare, dei “motivi” che si ripetono nel piano.
Come distinguere due motivi diversi? Dal soggetto che vi è rappresentato, dai colori che vi sono utilizzati (e ognuno può scegliere il “suo” criterio…), ma anche dal “tipo di simmetria” di cui godono. Due disegni sono “uguali” se hanno lo stesso tipo di simmetria, cioè se coincidono le “regole” con cui essi sono stati ottenuti a partire da un “motivo fondamentale”. Ciò equivale a richiedere che l’insieme delle trasformazioni (isometriche) del piano che lasciano globalmente inalterato il primo abbia la stessa struttura di quello delle trasformazioni che lasciano inalterato il secondo. O, come si dice in matematica, che le due figure abbiano lo stesso gruppo di simmetria.

Nelle figure qui sopra i soggetti sono diversi (un selciato, un gioco di stelle e uno di frecce), ma i motivi che vi sono rappresentati hanno la stessa struttura. Sono tutti ottenuti a partire da una cella quadrata (che è anche messa in evidenza in 2) che viene riflessa usando le rette dei suoi lati come specchi e iterando il procedimento. Si potrebbe pensare di avere inserito il quadrato iniziale in una camera con le 4 pareti fatte di specchi e di guardare, come nella figura 1542,… l’effetto che fa.
Per ognuno di questi tre motivi, il gruppo di simmetria contiene riflessioni (in una griglia di rette parallele ai lati del quadrato), rotazioni di 180° intorno ai nodi di questa griglia, e traslazioni.
I tre gruppi coincidono e in questo senso i tre disegni sono “uguali”.
Cosa che non accade con gli altri disegni del poster, che hanno gruppi diversi e sono quindi “diversi”.
Viene allora naturale una domanda … “simmetrica”: invece di andare a vedere quanti disegni si possono tracciare che abbiano lo stesso gruppo di simmetria di uno dato in partenza (la risposta infiniti o comunque quanti la fantasia ne produce nel rispetto delle regole di costruzione del gruppo è facile), ci si può chiedere quanti sono gli schemi di simmetria diversi che si possono avere per uno stesso motivo che si ripete nel piano.
Contrariamente a quello che ci si può aspettare, la libertà non è totale, e neppure molto ampia. Si dimostra infatti che ci sono soltanto 17 diversi tipi di simmetria per un “mosaico”, cioè per una figura piana il cui gruppo di simmetria – come nel caso dei disegni di questo poster – contiene traslazioni in almeno due direzioni diverse. Nelle immagini di questo poster ci sono tutti e 17!