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Il nastro di Moebius
Ottenere un nastro di Moebius è molto semplice: basta prendere un rettangolo di carta, che sia abbastanza lungo e stretto (un rapporto conveniente fra i due lati può essere di 1:5), e incollarne insieme i lati corti dopo aver dato al rettangolo una mezza torsione. Il risultato è un oggetto molto semplice, che per molti versi assomiglia a un cilindro, e però è molto diverso da un cilindro.
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La bottiglia di Klein
Se si parte da un rettangolo e si immagina di identificarne i lati opposti in modo che questi si attacchino “per dritto” (ovvero: vengano identificati i punti alla stessa altezza sui due lati verticali e analogamente per quelli orizzontali), si ottiene una superficie a forma di ciambella, che in matematica generalmente si chiama toro.
Se però si identificano due lati opposti “per dritto”, come prima, e gli altri due nell’altro verso, si ottiene qualcosa di più strano. Al primo passo si ottiene un cilindro, come nel caso della ciambella; poi, però, non si possono più semplicemente accostare le due circonferenze per incollarle, perché sulle due circonferenze è opposto il verso secondo cui vanno identificati i punti; Per riuscire a incollarle occorre allora “passare da dentro”, permettendo che la superficie si autointersechi: ed ecco che si ottiene la bottiglia di Klein.
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Fantamilano
La mappa di Milano del ‘500 è grosso modo un decagono, il cui perimetro è rappresentato dalla cerchia delle mura spagnole e i cui vertici sono rappresentati dal Castello Sforzesco e da nove porte. Come si può rappresentare Milano, a partire da questa stessa mappa, in una situazione “fantascientifica” in cui la città si estende su (tutta!) la superficie di un toro, o di un doppio toro, o di un nastro di Moebius?
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Questioni di genere
La classificazione delle superfici è un bel capitolo di matematica. Ci si pone un problema e si arriva a una risposta, completa e insieme relativamente semplice: e questa non è una cosa che accada frequentemente!
Qual è il problema?