Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

Quando un bombolone è uguale a una tazzina di caffè

Alla domanda “Quante e quali sono le superfici diverse in Topologia?”, la risposta viene da un bel risultato della fine del 1800 secondo il quale ogni superficie compatta, connessa, senza bordo è “uguale”, dal punto di vista del topologo, a una delle superfici comprese in due liste di superfici “standard”.

Quella per le superfici orientabili è suggerita dalle figure qui sopra e comprende una sfera, una ciambella (che in matematica si chiama toro), una specie di ciambella con due buchi, una con tre buchi, e così via.
Infinite superfici, dunque, ma molto “ordinate”.
Il numero dei “buchi”, che caratterizza queste superfici, si chiama genere della superficie e rappresenta il massimo numero di tagli che si possono fare senza dividere la superficie in due pezzi (lungo curve semplici, chiuse e che non si intersecano).
Ma non ci si faccia illusioni! In generale, per una superficie non in forma standard, non è affatto semplice leggere il numero dei “buchi”: ad esempio, si sa dal teorema di classificazione che la superficie qui sotto è la stessa cosa di una ciambella della lista, ma di quale? Quella a 3 buchi (e non a 4!), anche se non è immediato riconoscerlo.

La seconda lista si riferisce poi alle superfici non orientabili, compatte, connesse, senza bordo.

Il caso delle superfici con bordo si può pure ricondurre a queste due liste: ad esempio, un disco non è altro che una sfera su cui è stato praticato un foro, un cilindro è una sfera a cui sono stati praticati due fori… e un nastro di Moebius si ottiene praticando un foro nel piano proiettivo, che è la prima nella lista delle superfici non orientabili (la bottiglia di Klein è la seconda).
Il problema della classificazione delle superfici topologiche è quindi completamente risolto (cosa che non accade frequentemente in Topologia!): c’è una serie di forme standard e, data una superficie (compatta e connessa), si sa a priori che questa è “uguale” a una di queste forme standard e si sa anche che cosa bisogna conoscere per decidere con quale di queste forme essa coincide: bisogna sapere se è orientabile o meno, stabilirne il genere, e contare il numero delle sue componenti di bordo.
Si potrebbe provare allora a riconoscere le superfici presenti in questa sezione del catalogo.