Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

Diversi? Uguali!

“L’esistenza delle razze umane è un’astrazione derivante da una cattiva interpretazione di piccole differenze fisiche fra persone, percepite dai nostri sensi, erroneamente associate a differenze psicologiche e interpretate sulla base di pregiudizi secolari.”

Questa frase, tratta dal “Manifesto degli scienziati antirazzisti 2008” mostra come il tentativo di dare un significato alle parole uguali/diversi giochi un ruolo importante (e a volte pericoloso) nella vita di ognuno, e non appartenga solo alla matematica, ma stia alla base di un qualunque processo di astrazione: dagli studi di Darwin fino alla prima costruzione del linguaggio, quando ogni bimbo impara che… il nome “bicchiere” individua sia il suo bicchiere con il gatto viola che quello meno colorato di qualunque adulto gli stia vicino.

Tuttavia è ben vero che in genere, fra le prime operazioni che il matematico compie quando analizza una situazione, c’è quella di classificare gli enti oggetto della sua indagine in un modo che sia funzionale all’obiettivo che si è prefisso. Allora la diversità fra due oggetti non gli appare come una proprietà che è loro intrinseca, ma come una caratteristica che dipende dai parametri che egli stesso ha scelto per studiarli: la realtà assume parvenze diverse, che dipendono fortemente dalle modalità con cui la indaga.
Quando riesce, e quindi porta a una completa classificazione degli oggetti che si studiano, questa operazione di “messa in ordine” genera enormi semplificazioni, in quanto consente di guardare solo ai contenitori anziché ai particolari contenuti. Ma anche quando non produce una classificazione completa, il lavoro compiuto per stabilire criteri opportuni di uguaglianza/diversità spesso dà l’avvio a progressi importanti nella comprensione della questione allo studio. E la storia della matematica è ricca sia di imprese di classificazione ben riuscite che di tentativi di classificazione non riusciti, ma fruttuosi!
La classificazione topologica delle varietà può illustrare bene questa situazione: mentre il caso delle superfici (cioè delle varietà di dimensione 2) è stato risolto abbastanza presto (alla fine del 1800) e in modo completo, lo studio del caso generale ha incontrato enormi difficoltà.
All’inizio del Novecento, Henri Poincaré aveva cercato di classificare, tramite l’omologia, le varietà topologiche di dimensione 3, ma si era scontrato con l’esistenza di una varietà che, pur avendo la stessa omologia della 3-sfera, è diversa dalla sfera dal punto di vista della Topologia. Aveva allora cercato altri modi per distinguere la sfera dalle altre varietà e in particolare aveva fermato l’attenzione su quello che in matematica si chiama “gruppo fondamentale”. Non aveva trovato la dimostrazione della bontà della sua scelta, ma così facendo aveva posto un problema (passato alla storia come “congettura di Poincar”) che è rimasto senza risposta finché poco tempo fa Grigori Perelman ha pubblicato una serie di risultati che, solo come caso particolare, comprendono anche la conferma di questa congettura.
In questa mostra sono raccontate altre, diverse situazioni nelle quali si debbono decidere (in maniera arbitraria, ma coerente!) i criteri di uguaglianza e diversità secondo cui classificare alcuni “oggetti” (a volte concreti, a volte astratti). Si tratta di situazioni nelle quali, per decidere in quale contenitore riporre un dato oggetto, si può immaginare di usare uno speciale tipo di “occhiali”, che possono mostrare uguali anche oggetti apparentemente diversi.

Che si tratti di aritmetiche in cui 2+2 non fa sempre 4 o di geometrie in cui circonferenze e ellissi sono uguali, di superfici che si possono deformare una nell’altra ma restano stupefacentemente diverse come le 3 qui sotto, o di mosaici che, contro ogni evidenza immediata, nascono dalla stessa macchina, gli exhibit di questa esposizione mostrano come la classificazione degli oggetti sia un’operazione che richiede apertura mentale e fantasia.

E la matematica ancora una volta dà spazio a esperienze di grande libertà e creatività!