Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

Il posto dei poligoni

Non è difficile in matematica (e in particolare in certi ambiti disciplinari) imbattersi in questioni all’apparenza “innocua”, facili da formulare e da raccontare, e la cui soluzione è invece molto complicata. Alcune di tali questioni (il teorema dei 4 colori o il teorema di Fermat, per esempio) sono diventate famose anche per i non addetti ai lavori e la loro storia ha ricordato, anche a chi non lo sapeva, che in matematica ci sono ancora molti problemi aperti: qui vedrete che ce ne sono addirittura nello studio dei poligoni, che pure è vecchio di millenni.
Che cosa vuol dire classificare i poligoni? Vuol dire stabilire un criterio “sensato” secondo cui dividerli in “classi”, in modo che si possa dire che due poligoni nella stessa classe sono dello stesso tipo (o sono uguali, se si preferisce) e due poligoni in classi diverse non sono dello stesso tipo (o sono diversi). Naturalmente non c’è un’unica maniera per distinguere diversi tipi di poligoni, e la scelta fra queste diverse maniere dipende dal problema – che spesso è un problema concreto – che si sta affrontando.

Un primo criterio, un po’ rozzo, è quello di mettere due poligoni nella stessa classe se hanno lo stesso numero di vertici. In questo modo un quadrilatero è diverso da un triangolo, ma tutti i triangoli sono uguali, tutti i quadrilateri sono uguali, e non si distingue neppure un poligono concavo da uno convesso.
Un altro criterio, un po’ più fine, è quello che richiede che due poligoni appartengano alla stessa classe se è possibile “trascinare” i vertici del primo fino a portarli in quelli del secondo (o della sua immagine speculare), senza mai passare da una situazione intermedia “patologica” in cui tre vertici siano allineati. Un tale passaggio “catastrofico” è necessario, ad esempio, per passare da un quadrilatero concavo a uno convesso e quindi questo criterio distingue la convessità/concavità dei poligoni.
Se fra i poligoni si ammettono anche quelli intrecciati, la descrizione si fa più interessante e articolata. Si sa che ci sono (oltre a un solo tipo di triangolo)
• 3 tipi di quadrilateri (uno convesso, uno concavo, uno intrecciato)
• 11 tipi di pentagoni (1 convesso, 3 concavi, 7 intrecciati)
• almeno 72 tipi di esagoni (1 convesso, 7 concavi, almeno 64 intrecciati),

ma non si conosce una formula generale che dica, per ogni numero intero n, quanti sono, secondo questo criterio, i diversi tipi di n-goni.