superfici topologiche
Superfici topologiche I
Questo è il testo del poster che qui si può vedere.
Non tutte le ciambelle riescono con un buco
Per accordarsi su che cosa si intende con il termine “superficie”, basta pensare alle “bucce” degli oggetti (quasi tutti, almeno!) del nostro mondo quotidiano. Alcune sono lisce, come la buccia di una palla, altre sono angolose, come quella di un cubo, ma tutte hanno la caratteristica che, se si immagina di andarne a prendere un piccolo pezzo e di farne uno zoom, si otterrà qualcosa di sostanzialmente analogo al piano, dove due coordinate possono individuare la posizione di un punto.
Si possono anche distinguere situazioni come quella della sfera e del cubo da situazioni come quella del cilindro o del nastro di Moebius: in questo secondo tipo di superficie, ci sono dei punti dove la superficie stessa “finisce” e ha un bordo. E se si facesse uno zoom nei punti di questo bordo, si troverebbe qualcosa di analogo a un semipiano, piuttosto che all’intero piano.
Una superficie (con o senza bordo) è comunque caratterizzata da una proprietà locale: lo zoom in qualsiasi suo punto ripropone una situazione analoga al piano o, semmai, al semipiano.
Ma che cosa si può dire da un punto di vista globale? Le superfici non sono certo tutte uguali, neppure dal punto di vista della Topologia che pure sembra tanto… accomodante da permettersi di trattare come uguali la superficie di una qualunque sfera e quella di un qualsiasi cubo. Per un topologo, infatti, tutte le informazioni legate alle misure non hanno alcun senso; si può immaginare di stiracchiare un oggetto quanto si vuole e l’oggetto per lui rimarrà sempre “uguale” a quello che era in partenza, purché sia fatto di un materiale sufficientemente deformabile da non spezzarsi: tagliare non è un’operazione legittima (a meno che poi non si rincollino i pezzi curando di attaccare insieme esattamente i punti che si erano prima staccati).
Dunque, quante e quali sono le superfici “diverse” con queste regole del gioco?
Intanto, per capire a quali superfici si fa qui riferimento, occorre dire che si tratta di superfici connesse (cioè “fatte di un solo pezzo”) e compatte (un’ipotesi più tecnica che garantisce che la superficie è limitata e che non ci sono dei buchi come quelli che potrebbero essere creati da uno spillo togliendo un solo punto).
Una prima differenza sta nell’essere orientabili (vale a dire, non contenere un nastro di Moebius) oppure no. Una sfera e una ciambella sono superfici orientabili, non hanno bordo e in maniera evidente sono topologicamente diverse. Anche un disco o un cilindro sono superfici orientabili, ma hanno bordo (e il bordo è una circonferenza nel primo caso e una coppia di circonferenze nel secondo caso).
Un nastro di Moebius è invece una superficie non orientabile, che ha bordo (e il bordo è una circonferenza - con gli occhi del topologo, naturalmente!). Un esempio di superficie non orientabile senza bordo è la bottiglia di Klein che in realtà va immaginata un po’ diversa da come la si rappresenta di solito in una figura, e anche da come la si vedrebbe in un modello tridimensionale: bisogna infatti, con gli occhi della mente, “non vedere” la curva lungo cui la superficie si autointerseca e pensare a questa curva come a un “accidente” dovuto semplicemente al fatto che la bottiglia di Klein (che ha bisogno di spazi più ampi…) è stata “costretta” nel mondo tridimensionale.
Un po’ come quando si disegna un nodo su un pezzo di carta: sul foglio compaiono necessariamente degli incroci che nel nodo “reale” non ci sono e che sono dovuti solo alla restrizione di doverlo disegnare su un pezzo di carta, mentre il nodo ha bisogno di più spazio (ha bisogno di tre dimensioni: due sole non bastano).
Come la bottiglia di Klein, anche tutte le altre superfici non orientabili senza bordo avrebbero bisogno di 4 dimensioni e non c’è modo di rappresentarle nel mondo tridimensionale senza introdurre delle curve di autointersezione.
superfici topologiche
Superfici topologiche II
Questo è il testo del poster che qui si può vedere.
Quando un bombolone è uguale a una tazzina di caffè
Alla domanda “Quante e quali sono le superfici diverse in Topologia?”, la risposta viene da un bel risultato della fine del 1800 secondo il quale ogni superficie compatta, connessa, senza bordo è “uguale”, dal punto di vista del topologo, a una delle superfici comprese in due liste di superfici “standard”.
Quella per le superfici orientabili è suggerita dalle figure qui sopra e comprende una sfera, una ciambella (che in matematica si chiama toro), una specie di ciambella con due buchi, una con tre buchi, e così via.
Infinite superfici, dunque, ma molto “ordinate”.
Il numero dei “buchi”, che caratterizza queste superfici, si chiama genere della superficie e rappresenta il massimo numero di tagli che si possono fare senza dividere la superficie in due pezzi (lungo curve semplici, chiuse e che non si intersecano).
Ma non ci si faccia illusioni! In generale, per una superficie non in forma standard, non è affatto semplice leggere il numero dei “buchi”: ad esempio, si sa dal teorema di classificazione che la superficie qui sotto è la stessa cosa di una ciambella della lista, ma di quale? Quella a 3 buchi (e non a 4!), anche se non è immediato riconoscerlo.
La seconda lista si riferisce poi alle superfici non orientabili, compatte, connesse, senza bordo.
Il caso delle superfici con bordo si può pure ricondurre a queste due liste: ad esempio, un disco non è altro che una sfera su cui è stato praticato un foro, un cilindro è una sfera a cui sono stati praticati due fori… e un nastro di Moebius si ottiene praticando un foro nel piano proiettivo, che è la prima nella lista delle superfici non orientabili (la bottiglia di Klein è la seconda).
Il problema della classificazione delle superfici topologiche è quindi completamente risolto (cosa che non accade frequentemente in Topologia!): c’è una serie di forme standard e, data una superficie (compatta e connessa), si sa a priori che questa è “uguale” a una di queste forme standard e si sa anche che cosa bisogna conoscere per decidere con quale di queste forme essa coincide: bisogna sapere se è orientabile o meno, stabilirne il genere, e contare il numero delle sue componenti di bordo.
Si potrebbe provare allora a riconoscere le superfici presenti in questa sezione del catalogo.