Questo è il testo del poster che qui si può vedere.

Di ombra in ombra

Che cosa rimane invariato in fotografie, scattate da punti diversi, della facciata di una stessa casa, oppure di un disco? Che cosa cambia?

Che cosa rimane invariato nelle diverse ombre che una stessa sagoma proietta su un piano quando è illuminata da punti diversi? Che cosa cambia?
Se si prescinde da questioni cromatiche e ci si limita ad osservare i profili delle immagini, tanto in un caso quanto nell'altro, le differenze sembrano molte di più delle somiglianze.
Se la fotografia è presa di fronte, le finestre avranno forme simili a rettangoli, ma se è presa di scorcio, le forme delle finestre saranno quadrangoli irregolari; se una foto è presa dall'alto e l'altra dal basso, le proporzioni tra la varie parti saranno completamente stravolte, e così via.
Se la sagoma è circolare, la sua ombra potrà essere un cerchio, ma anche un’ellisse più o meno allungata e altro ancora, a seconda della posizione del piano.
Eppure qualcosa in comune tra le due foto o tra le due ombre c'è: ad esempio i tratti che sono rettilinei in una foto lo sono anche nell'altra, le ombre della sagoma circolare hanno comunque un profilo “morbido”, senza punte né bitorzoli.
Ci si potrebbe domandare quali siano le caratteristiche della trasformazione del piano che fa passare da una fotografia della facciata all’altra oppure da un’ombra della sagoma all'altra. Si tratta di una proiettività e le due immagini fotografiche della facciata – o le due ombre della sagoma – sono uguali dal punto di vista proiettivo; la geometria proiettiva le studia come se fossero la stessa cosa.
Le proiettività alterano le lunghezze e i rapporti tra le lunghezze dei segmenti: due finestre identiche nella realtà appaiono assai diverse in una foto di scorcio. Eppure l’esperienza di tutti i giorni ci dice che c'è qualcosa che ci permette di riconoscere la regolarità, anche in immagini di scorcio. Guardate le immagini qui sotto…

È immediatamente evidente che i birilli della foto a destra non sono disposti in modo regolare, mentre quelli ripresi nella foto a sinistra appaiono equidistanti anche se le distanze tra le loro immagini sono diverse e vanno calando.
Che cosa ci fa riconoscere la regolarità nella foto a sinistra? O, meglio, che cosa ci permette di escludere la regolarità nel caso della foto a destra?
È il birapporto, un invariante numerico della geometria proiettiva. Anche se le lunghezze e i rapporti tra le lunghezze dei segmenti non si conservano per proiettività, si conservano i rapporti tra i rapporti di segmenti allineati. Dati quattro punti allineati A, B, C e D, il rapporto tra i rapporti AC/BC e AD/BD o, come si dice, il loro birapporto (ABCD), coincide con il birapporto (A’B’C’D’) dei loro trasformati in una qualsiasi proiettività.
Quattro punti allineati e scanditi alla stessa distanza hanno birapporto 4/3, quindi tutte le loro immagini proiettive continuano ad avere birapporto 4/3. Nella figura 1 i “piedi” dei birilli non hanno birapporto 4/3, mentre quelli di figura 2 hanno birapporto 4/3. E, anche se non lo sappiamo, il nostro occhio è abituato ad accorgersene: sa “misurare” alcuni birapporti ben prima che noi ne siamo consapevoli!